Постройте прямоугольный треугольник АВС. Нам надо доказать, что ВС²=АС²+АВ².

Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD, который равен катету АВ. Опустите перпендикулярный AD отрезок ED. Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В, а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже:

Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ, является не только прямоугольным, но и равносторонним. Не забываем также, что АВ=CD, АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, S_ABED=2*1/2(AB*AC)+1/2ВС².

При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: S_ABED=(DE+AB)*1/2AD. Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD.

Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC²=(DE+AB)*1/2(AC+CD). Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC²=1/2(АВ+АС)². А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC²=1/2АС²+2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ². Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС²=АС²+АВ². Мы доказали теорему.