Теорема Пифагора - Алгебраический способ доказательства

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
С²=А²+ В², /1/
где: С - гипотенуза;
А и В - катеты.
Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /1/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.
Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А²= С² -В² /2/
Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение /2/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А²= (C-B) (C+B) /3/
Используя метод замены переменных, обозначим:
C-B=M /4/
Из уравнения /4/ имеем:
C=B+M /5/
Из уравнений /3/, /4/ и /5/ имеем:
А²=M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2BM+M² /6/
Из уравнения /6/ имеем:
А² - M²=2BM /7/
Отсюда: B =

/8/
Из уравнений /5/ и /8/ имеем:
C=

/9/
Таким образом:
B =

/10/
C

/11/
Из уравнений /8/ и /9/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A² на число M, т.е. число M должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А или A².
Числа А и M должны иметь одинаковую четность.
По формулам /10/ и /11/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M.
Из изложенного следует:
Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M=1).
Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C.
Все числа являются пифагоровыми.
Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.

Пифагор

Теорема

Калькулятор

Конвектор

Поиск

Календарь

Архив записей

Наш опрос

Друзья сайта

Статистика